Primera Encarnacion

Ilustracion egipcia del proceso de reencarnacion

Esta semana, la reposicion del post que hice acerca del teorema de incompletitud de Gödel, por ese tiempo me ocupaba el poder desentrañar el rol de la mecanica cuantica en la comprension ultima de la realidad subyacente. Ciertamente la mecanica cuantica juega un rol fundamental, pero cualquier cosa que se quiera decir de la realidad y de nuestra capacidad para describirla, debe por obligacion, tratar con la existencia del caos y de la complejidad que aparentemente emerge de los elementos mas simples.


Titulo: Teorema de incompletitud de Gödel.
Fecha de primera publicacion: 15 de Julio del 2005.


En lo que sigue se advierte al lector, mantener la mente alerta, pues, aunque parezca que las definiciones son un juego de palabras, el lenguaje ha sido usado con mucho cuidado para expresar exactamente lo que se quiere decir. En lo que sigue, reseño brevemente, informacion adicional acerca del famoso teorema de incompletitud descubierto por Gödel.

Proposicion:

Cualquier sistema formal, complejo lo suficiente para expresar aritmetica tendra una proposicion que es verdadera la cual no se puede probar. Gödel mostro como construir, en un tal sistema consistente desde el punto de vista formal, una proposicion aritmetica verdadera que no puede ser probada.

Esto pudiera sonar a paradoja, pues si prueba que se puede construir tal proposicion, ¿no esta probando ya que es verdadera?

Lo que Gödel intentaba, era mostrar que nuestro conocimiento de las matematicas excede las pruebas formales. No significa esto que no existe un conocimiento matematico objetivo, o que no existe tal cosa como la prueba matematica. Gödel creia que existe una realidad matematica independiente. La realidad matematica, contiene mucho mas de lo que los sistemas formales pueden decir de ella. Gödel mostro que cualquier sistema, con una logica lo suficientemente fuerte para contener aritmetica esta condenado a ser incompleto o inconsistente. Los sistemas inconsistentes son inutiles, ya que se pueden derivar contradicciones y si eso ocurre, entonces nada puede ser probado. Gödel no veia el lenguaje como un constructo de la realidad sino un subordinado de la misma. Existe el lenguaje matematico puro y existe el meta-lenguaje que es parte intrinseca de la descripcion de las reglas de los sistemas formales.

El genio de Gödel consiste en la construccion de oraciones que no solo hablan directamente de la aritmetica, sino que tambien dicen algo acerca de si mismas. Es como si existiese un lenguaje en dos niveles (muy parecido al lenguaje en las interacciones humanas—se ven las caras) este doble discurso se realiza usando algo que se llama La numeracion de Gödel: a cada uno de los elementos en el sistema se le asigna un numero, tambien se le asignan numeros a las ecuaciones que se deriven usando esos elementos y los grupos de ecuaciones asi construidas (en programacion se le llama anidamiento), las cuales no son mas que las pruebas (dada una cadena de simbolos se puede derivar el numero que le corresponde a esa cadena y viceversa).

A esta forma de probar se le llama autoreferencial (reminiscente de la manera como ciertos payasos se pagan y se dan el vuelto; si lo dije yo y lo uso en este discurso, entonces deber ser una tautologia,ja). Para entender mejor, recordar al griego Epimenides, cuando usando: Todos los cretenses son unos mentirosos (sustituya la palabra cretense por el nombre de su adversario politico mas odiado) generaba un paradoja. A primera vista no existe nada de paradojico en una expresion tan inocente (la misma seria verdadera si y solo si se esta hablando del gobierno), sin embargo, esa oracion esta diciendo: esta oracion es falsa. En otras palabras, Epimenides decia:
Lo que digo es falso, soy cretense, y todo lo que digan los cretenses es falso. Esta ultima aseveracion genera una paradoja, porque si es verdad, entonces debe ser falso y si es falso, entonces debe ser verdad.

Este es el mecanismo que Gödel uso en su famosa prueba: producir una proposicion verdadera que lo sea precisamente por que no se puede probar. La proposicion es en efecto: Esta proposicion no se puede probar. En caso de ser falsa, luego su negacion es verdadera; esto trae como consecuencia que es probable. Ahora, si es falsa—no puede ser falsa, pues si fuese falsa, por regla seria verdadera, entonces debe ser verdadera, ¡pero no se puede probar! Recuerdese tambien que tiene un significado aritmetico estricto.

El segundo teorema de incompletitud postula simplemente que una de las cosas que no se pueden probar de un sistema formal aritmetico, es la consistencia del mismo. Y aqui, otro aparente juego de palabras: mientras se trabaja en un sistema, no se puede probar que ese sistema es consistente. Por supuesto, el sistema es inutil pues no se puede probar nada en un sistema inconsistente.

Por su parte Wittgenstein en su Tractatus Logico-Philosophicus delinea las fronteras del lenguaje, nos aclara que existen reglas las cuales permiten decir lo que se puede decir. Es para nuestro pesar, pues el mismo plantea que es mucho lo que queda por fuera, es mas, las cosas de mayor importancia no se pueden decir sin caer en inconsistencias causadas por las mismas reglas del lenguaje.

En lo que Wittgenstein creia en realidad, era que lo mas importante, el cual el llamaba lo mistico, es meramente indecible, no su existencia. En cierta forma, igual que unos de los fundamentos de la mecanica cuantica: el estado de dos o mas variables canonicas de un sistema no puede ser conocido de modo certero. Lo cual no significa que esos otros estados no posean existencia, sino mas bien que no todos pueden ser una realizacion particular de esa variable en particular. Volviendo a Wittgenstein; la ultima proposicion del Tractatus:

de lo que no se puede hablar, debemos callar,

es ambigua, pues puede significar que todos los hechos pueden ser dichos y ademas ser dichos con claridad o puede significar que existe informacion en el Universo que nuestro lenguaje no puede expresar adecuadamente. Me inclino a pensar que existen aspectos de la realidad que exceden nuestra habilidad de representacion.

Finalmente, Gödel en sus ultimos dias se encerraria en su soledad, despues de la muerte de Einstein, su amigo y hermano de disquisiciones filosoficas acerca del metalenguaje de la fisica y las matematicas. Nos dejo eso si, una vision muy hermosa de nuestro Universo, me atreveria a decir que este par de gigantes nos liberaron de la esclavitud que nos impuso Descartes–esclavitud que a pesar de todo, nos ha servido y sirve tan bien a nosotros: los animales racionales que habitamos esta aquifera roca.

KeyWords: “Gödel”; “Einstein”; “Wittgenstein”; “Epistemologia”; “Incompletitud”; “Logica”

2 Responses to Primera Encarnacion

  1. NBV says:

    Bueno, Elijah, Gödel no sólo se encerró, sino que se volvió tan paranoico que murió de inanición porque pensaba que los matemáticos querían envenenarlo.

  2. Elijah says:

    Es cierto, solo que omiti esa parte pues me entristecio mucho la primera vez que lei su biografia. En realidad, el siempre sufrio de alucinaciones y paranoia, pero fue su fiel compan~era quien se ocupaba de el para que pudiera seguir funcionando y produciendo. Al morir esta, Einstein tomo la tarea en sus manos, pero luego de la desaparicion del mismo, bueno paso lo que paso.

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